数値計算法特論

（講義のねらい）コンピュータの急速な進歩により，これを用いた数値計算の方法は大きく変わりつつある。本講では数値計算法の代表的な方法について考え方から出発してその公式を導くことを行う。これは新しいことを研究する学生にとっては，与えられている計算機のライブラリをただ使えるだけでなく，新しい公式を作れるくらいの基礎的な学力と知識を与えようというものである。内容は近似と補間，数値微分，積分，微分方程式や代数方程式の数値解法などである。各専門分野の研究を完成させるには，与えられた問題を解析し，数学的に定式化する必要がある．さらに，できた式を如何にして解くかなど数値計算法を必要とするところは多い．ここでは，数値計算に用いられる公式を導出する方法とその基となる考え方や応用を学ぶ。以下講義の概要を示す．

＜授業計画＞


1. 数値計算法の目的と概要。差分法、主な差分公式。
2. 差分演算子、移動演算子。微分演算子と差分演算子の関係。差分演算子を用いた数値微分法。
3. 差分商列を 用いた 逐次数値微分法。微分公式の精度の向上。
4. 常微分方程式の数値解法，テイラー法，ルンゲクッタ法。
5. 常微分方程式および編微分方程式の数値解法，予測子修正子法
6. 常微分方程式を差分法で解く。初期値問題。近似度の高い差分方程式。境界値問題。
7. 偏微分方程式を差分法で解く。初期値、境界値問題の一例。
8. 偏微分方程式の解の性質。拡散方程式。
9. 偏微分方程式の解の性質。波動方程式。
10. 偏微分方程式の解の性質。ラプラス方程式。
11. 差分法による偏微分方程式の解法。差分方程式の解が微分方程式の解に収束するための条件。
12. 差分法による偏微分方程式の解法。安定条件の具体的な表現−フーリエ分会の方法。
13. 差分法による偏微分方程式の解法。拡散方程式、波動方程式の解法の具体例。
14. 偏微分方程式の解法の安定条件の具体的な表現。
15. 定常現象を表す偏微分方程式の境界値問題。ラプラス演算子の意味、ポアソン方程式の境界値問題。